Escalas y Gráficas Logarítmicas

1- Comportamientos no lineales

En la mayoría de las prácticas de física, las leyes que se han de verificar siguen una dependencia lineal

Sin embargo, no hay que pensar que ésta es la forma general de una dependencia entre funciones. Las magnitudes se relacionarán en general por fórmulas de lo más variopintas (exponenciales, polinomios, logaritmos, funciones trigonométricas) y en muchos casos ni siquiera existe una fórmula conocida que permita relacionar dos magnitudes.

La ventaja de las rectas de mejor ajuste es que son las más sencillas. Disponemos de fórmulas para la pendiente, la ordenada en el origen y sus respectivas incertidumbres, y podemos representarlas fácilmente. Por ello, siempre que sea posible, es preferible reducir el problema a una dependencia lineal.

1.1 Reducción a una forma lineal

A modo de ejemplo, si tenemos el problema de de una partícula que cae desde una cierta altura, y medimos el tiempo de caída, podemos obtener una tabla como la siguiente

La teoría nos dice que el tiempo que tarda en caer cumple:

Por ello la gráfica teórica de h frente al tiempo es una parábola. Si representamos la altura frente al tiempo, obtenemos una serie de puntos no alineados

Aunque podemos ajustar una recta de mínimos cuadrados, esto no sirve absolutamente de nada, porque ni los puntos están alineados, ni la pendiente de esa recta tiene significado físico.

En cambio, si representamos h frente al cuadrado del tiempo, añadiendo una nueva columna

Nótese que ahora cada dato tiene un error diferente, y para abreviar hemos empleado la notación compacta

De esta forma, la nueva dependiencia teórica es lineal, ya que

 

Función Lineal

Función lineal.

En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

f(x) = mx

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.